| Idő | Téma |
|---|---|
| 0–5 | Visszatekintés és a mai cél |
| 5–10 | Kísérlet a teremben: súly és rugó |
| 10–15 | A három szereplő |
| 15–20 | Először hallgassuk meg |
| 20–25 | Merevség és hangmagasság |
| 25–30 | Tömeg és hangmagasság |
| 30–35 | Csillapítás: meddig cseng? |
| 35–40 | A fázistér: a mozgás képe |
| 40–45 | Kiscsoportos feladat |
| 45–50 | Szünet |
| 50–55 | Mennyi ideig cseng? A T60 |
| 55–60 | Hogyan lesz ebből számítógépes hang? |
| 60–65 | Rezonancia: a hinta és a pohár |
| 65–70 | A kód: rövid, mégis minden benne van |
| 70–75 | Egy rezgő és sok rezgő: a lánc (Több tömeg fül) |
| 75–80 | Ütés helye: hol hallgat el egy hang? |
| 80–85 | Előretekintés: a húr és a hangszertest |
| 85–90 | Összefoglalás és házi feladat |
| +15 | Bővítés (második alkalom): Euler valódi mértékegységekkel, F = m·a + c·v + k·x |
Múlt órán megépítettük a gitárhúrt a gépben: egy zajcsomag kering egy körben, és minden körben kicsit megváltozik. Ma még egyszerűbbre megyünk: egyetlen súlyt egy rugón. Ez a legkisebb építőkő, amiből később a hangszertestet is megépítjük.
Ma három dolgot tanulunk: mitől lesz egy rezgés magasabb vagy mélyebb, mitől cseng hosszabban, és mitől nem cseng egyáltalán.
Ezt a rugót és ezt a súlyt most kézbe veszem. Kihúzom, elengedem: oda-vissza lendül, közben egyre kisebbeket. A gumin ez néhány lengés másodpercenként, ezért csak látjuk; a gépben ugyanez ezerszer gyorsabb, azért halljuk. Ugyanez történik akkor is, ha egy vonalzót az asztal szélére szorítok és megpengetem, vagy ha egy kulcscsomót gumiszalagra akasztok.
Kérem, hogy most ti is próbáljátok ki. Figyeljétek meg: melyik a gyorsabb, a nehéz súly vagy a könnyű? Mi történik, ha kicsit hosszabb a vonalzó vége?
Három dolog dönt a mozgásról. Az első a rugó: mindig vissza akar húzni a kiindulóhelyre, minél messzebb húzom, annál erősebben. Ez a merevség.
A második a súly: nehezen indul el, és ha egyszer mozog, nehezen áll meg. Ezt hívjuk tehetetlenségnek. A harmadik a fékezés: a levegő, a súrlódás, a belső anyagveszteség elveszi a mozgás energiáját.
Ennyi az egész. Minden hangot, amit ma hallani fogtok, ez a három szám határozza meg: mennyire nehéz, mennyire merev, mennyire fékezett.
Most megnézzük a demót. Van három csúszka: tömeg, rugómerevség és csillapítás. Ütök egyet: hallgassátok meg. Ez egy harang: nagyon kis fékezés, hosszú lecsengés.
Az ábrán a kitérést látjátok az idő függvényében: a rezgés egyre halkul, ezt hívjuk lecsengésnek. A másik ábra a fázistér: a harangnál ez nagyon lassan zsugorodó kör, a spirált a Koppanásnál mutatjuk meg később.
Először a rugót nézzük. Ha merevebb rugót választok, mit vártok: magasabb vagy mélyebb hangot? Tippeljetek, aztán meghallgatjuk.
Van egy szép szabály: ha a merevséget négyszeresére növelem, a hang pontosan egy oktávval magasabb lesz. Nem kétszer, nem háromszor: pontosan egy oktávval.
Most a súlyt nézzük. Nehezebb súly: lomhább, lassabban leng, tehát mélyebb hang. Ugyanaz az oktávszabály fordítva: a tömeg négyszerese egy oktávval mélyebb hangot ad.
Ez ismerős a gitárról: a vastag, nehéz húr mélyebb, a vékony magasabb. Ugyanaz a törvény működik a húrban is.
A harmadik gomb a fék. Kis fék: sokáig cseng, mint a harang. Nagyobb fék: rövid, koppanásszerű hang. És van egy határ, amikor már egyáltalán nem rezeg, csak lassan visszakúszik.
Ezt a határt kritikus csillapításnak hívjuk. Az ajtócsukó éppen ilyen: lassan és rezgés nélkül csukja be az ajtót. Ha ennél is erősebb a fék, mint a mézben a súly: lassan kúszik vissza.
Van egy szép módja annak, hogy a mozgást egyetlen képként lássuk. Egy rezgésben a súly a szélén megáll, a közepén a leggyorsabb. Ha a helyzetet és a sebességet egy közös rajzon ábrázoljuk, a rezgésből kör lesz.
Ha nincs fék, a kör állandó. Ha van fék, spirál lesz: befelé tart, ahogy a rezgés halkul. A kritikus esetnél már nem kör, hanem egyenes visszakúszás.
Most párban dolgoztok. Kérem, hogy állítsatok be három nagyon különböző hangot: egy harangot, egy koppanást és egy gumis hangot. Írjátok fel a három beállítást egy papírra: tömeg, merevség, csillapítás.
Ha kész vagytok, cseréljetek papírt a szomszéd párral, és tippeljétek meg, melyik beállítás melyik hang, aztán ellenőrizzétek a demóban.
Szünet 5 percre. Előtte egy gyors kérdés: mi az a három szám, ami egy rezgést meghatároz? (tömeg, merevség, csillapítás)
Egy hang lecsengésének mérése: mennyi idő alatt lesz olyan halk, hogy már majdnem semmi, az eredeti ezredrésze? Ezt hívjuk T60-nak. Ugyanezt használtuk a Karplus-körnél is.
Két szabály: a nehezebb súly tovább cseng, az erősebb fék rövidebben. Nem kell számolni: a demó kiírja a T60 értékét, ti csak azt nézzétek, hogyan változik, ha a súlyt vagy a féket állítjátok.
A számítógép nem tud hintázni, ezért egy egyszerű trükköt használ: minden új értéket a két előző értékből számol ki. Ha tudja, hol volt a súly az előbb, és hol volt még előbb, ki tudja találni, hol lesz most.
Ez pont olyan, mint a Karplus-kör, csak ott sok előző értékre volt szükség, itt csak kettőre. A két előző érték egy rezgést ír le, a sok előző érték sok rezgést egyszerre.
Van egy jelenség, ami minden hangszerben fontos: a rezonancia. Ha egy hintát pont a jó ritmusban lököm, egyre nagyobbat lendül. Ha rossz ritmusban, alig mozdul. Ugyanez történik a hangszerekben.
A húr lökdösi a hangszertestet, és a test azokat a hangokat erősíti fel, amelyekhez „ritmusban” van. Ha kicsi a fék, a rezonancia éles és hosszú: egy pohár, ami egy hangra megcsendül. Ha nagy a fék, széles és rövid.
Így néz ki ez SuperCollider-ben: néhány sor. A Ringz az a rezgő, amit ma tanultunk: megadom a hangmagasságot és a lecsengési időt, és egy ütéssel megszólal.
Max-ben kicsit hosszabb, de ugyanez van benne: a hangmagasságból és a lecsengési időből két számot számol, és a két előző értékből épít új értéket. Nem kell a képleteket érteni, csak a szavakat: hangmagasság, lecsengés, előző érték.
Eddig egyetlen súly volt. Most kössünk több súlyt egymáshoz rugókkal: a bal vég a falhoz van rögzítve, a jobb vég szabadon lóg. Egy súly egy hangot ad, két súly két hangot, öt súly öt hangot.
Minden hang a lánc egy-egy mozgásmintája. Ezt hívjuk módusnak. Az alsó mintában a súlyok egyszerre, egyirányban lendülnek, a magasabbakban egymással szemben. A Karplus-kör is ilyen: sok rezgő egyszerre.
Ha a láncot egy pontján megütöm, nem minden mozgásminta indul be egyformán. Ahol egy minta alig mozdul (a csomópont közelében), ott ütve az a hang gyengén szólal meg.
A falhoz közel ütve a magasabb hangok erősebbek, ezért a hang fényesebb. A szabad végén ütve az alaphang dominál, a hang tompább. Ugyanezt halljuk a gitárnál: a híd közelében pengetve fényesebb a hang.
Eddig a lánc egyik vége szabad volt. Ha a másik végét is rögzítjük, az a gitárhúr: sok súly esetén a hangok majdnem pontosan egész számú többszörösök, vagyis 1 : 2 : 3. Ezt tudta a Karplus-kör.
A szabad végű lánc inkább 1 : 3 : 5 körüli arányokat ad, ahogy a klarinét. Sok súly sok hangot ad, és ebből lesz a hangszertest is. Ez a következő óra.
Összefoglalva: egy rezgést három szám ír le: tömeg, merevség és csillapítás. A merevség és a tömeg a hangmagasságot adja, a csillapítás a lecsengést. Kritikus csillapításnál nincs rezgés.
Házi feladat: állítsatok be három hangot a demóban (harang, koppanás, gumi), írjátok le a beállításokat, és egy mondatban válaszoljatok: mi a közös a hintában, a gitárhúrban és a Karplus-körben? Bónusz: a Több tömeg fülön N = 3-nál írjátok fel a három frekvenciát és az arányukat.
Eddig a gép kész képlettel számolt (egzakt rezonátor). Most úgy, ahogy a fizika írja: F = m·a + c·v + k·x. Minden tag erő, newtonban: a tömeg kilogrammban, a rugómerevség newton per méterben, a csillapítás newton·szekundum per méterben.
Ebből kiszámoljuk a gyorsulást, abból apró lépésekben a sebességet, abból a helyet. Ez az Euler-módszer. Az explicit Euler a régi sebességgel lép, ezért hozzáad egy kis negatív fékezést: ha az igazi fék kisebb, mint h·k, a hang felrobban. A szemi-implicit Euler az új sebességgel lép, és stabil.
| Feladat | Megoldás és ellenőrzés |
|---|---|
| Oktávszabály | k: 76 → 304 kN/m, f₀ 439 → 878 Hz (×2). m: 10 → 40 g, f₀ 439 → 219 Hz (×½). A 300 kN/m már 11 centtel az oktáv alatt marad. |
| Kritikus határ | ckrit = 2√(k·m) = 55,1 N·s/m. A csúszka 87-es állása 55,3 N·s/m (ζ = 1,003); a csúszka kb. 10%-os lépésekben megy. |
| T60-mérés | 13,8·m/c = 13,8·0,010/0,0488 = 2,83 s (a kiírás is 2,83 s). c = 0,05 N·s/m-nél 2,76 s. |
| Fázistér | Egy fordulat egy periódus (Harangnál 2,3 ms). Fordulatonként az amplitúdó e−2πζ/√(1−ζ²)-szeresére csökken: Harang 0,994, Koppanás 0,54; a Guminál nincs fordulat. |
| Hangszín | Bármi, ha a három hang külön tartományban van. Például Harang (10 g, 76 kN/m, 0,049), Koppanás (5 g, 300 kN/m, 7,6), Gumi (10 g, 76 kN/m, 122 N·s/m). |
| Két tömeg (N = 2) | f₁ = 0,618·f₀ = 271 Hz, f₂ = 1,618·f₀ = 710 Hz, arány 2,618; a különbségük pontosan f₀ = 439 Hz. Lebegést két közeli frekvencia ad (a különbségük néhány Hz), itt nem ez történik. |
| Ütés helye (N = 5, hallgatás az 5.) | Az 1. módus mindig a legerősebb. A magasabb módusok a falnál ütve a legerősebbek (3. módus: az 1.-nek 0,58-szorosa az 1. tömegnél, 0,13-szorosa az 5.-nél), a szabad végén a leggyengébbek (5. módus ≈ 0,01×). Gyengülő módus: a 2. tömegnél a 3. (0,09×), a 3. tömegnél a 4. (0,03×). Tiszta csomópont nincs. |
| Módszer-összevetés | h·ω₀²/2 = 86 1/s ≫ σ = 2,44 1/s, ezért az explicit Euler a Harangnál felrobban (⚠), a másik kettő nem. Mért f: Harangnál 438,8 Hz mindkettő; Koppanásnál egzakt 1225,8 Hz, szemi-implicit 1237,9 Hz (+17 cent: nagy csillapítás és magas frekvencia). |
| Valódi mértékegységek | ω₀ = √(k/m) = 2757 rad/s; ckrit = 55,1 N·s/m; v₀ = J/m = 0,001/0,010 = 0,10 m/s; xmax ≈ v₀/ω₀ = 36 µm; h·k = 1,72 N·s/m. Az explicit Euler stabil, ha c > 1,72 N·s/m (ellenőrizve: 1,5-nél instabil, 2,0-nál stabil). |
| Karplus és rezgő | Egy tömeg-rugó rezgőben 1 hang (egy módus) van, a lánc N tömegnél N hangot ad, a Karplus–Strong hurokban sok harmonikus szól (a hurok hosszából). |
„A nehezebb gyerek lassabban hintázik.” A hintánál nem, mert a visszahúzó erőt a gravitáció adja, és az a tömeggel arányos. Ezért használunk ugródeszkát.
„Az explicit Euler hibás kód.” Nem hibás: a módszer tulajdonsága, hogy c < h·k esetén negatív csillapítást ad. A szemi-implicit csak annyiban más, hogy az új sebességgel lépünk.
„A nagyobb csillapítás magasabb hangot ad.” Épp ellenkezőleg: a csillapított frekvencia kicsit alacsonyabb (f₀·√(1−ζ²)), de a fő hatás a rövidebb lecsengés.
„A szabad végén ütve gazdagabb a hang.” Nem: a falhoz közel ütve erősebbek a magas módusok. A szabad végén az alaphang dominál.
„A gen~ kimenete néhány µm.” Igen, a kitérés méterben van; a gain paraméter csak a hallgatáshoz skáláz.